uji normalitas dan homogenitas

UJI NORMALITAS

Pengujian normalitas adalah pengujian tentang kenormalan distribusi data.Uji ini merupakan pengujian yang paling banyak dilakukan untuk analisis statistik parametrik.Karena data yang berdistribusi normal merupakan syarat dilakukannya tes parametrik.Sedangkan untuk data yang tidak mempunyai distribusi normal, maka analisisnya menggunakan tes non parametric.

Data yang mempunyai distribusi yang normal berarti mempunyai sebaran yang normal pula. Dengan profit data semacam ini maka data tersebut dianggap bisa mewakili populasi. Normal disini dalam arti mempunyai distribusi data normal. Normal atau tidaknya berdasarkan patokan distribusi normal dari data dengan mean dan standar deviasi yang sama. Jadi uji normalitas pada dasarnya melakukan perbandingan antara data yang kita miliki dengan data berdistribusi normal yang memiliki mean dan standar deviasi yang sama dengan data kita.

Untuk mengetahui bentuk distribusi data dapat digunakan grafik distribusi dan analisis statistik. Penggunaan grafik distribusi merupakan cara yang paling gampang dan sederhana. Cara ini dilakukan karena bentuk data yang terdistribusi secara normal akan mengikuti pola distribusi normal di mana bentuk grafiknya mengikuti bentuk lonceng (atau bentuk gunung). Sedangkan analisis statistik menggunakan analisis keruncingan dan kemencengan kurva dengan menggunakan indikator keruncingan dan kemencengan.Perhatikan data hasil belajar siswa kelas 2 SMP pada mata pelajaran matematika dibawah ini.

Nomor	Nama	Nilai
1	Amir	78
2	Budi	75
3	Cici	76
4	Donny	67
5	Elisa	87
6	Farhan	69
7	Ghulam	65
8	Hilma	64
9	Ilyasa	68
10	Jarot	74
11	Kamila	73
12	Lala	76
13	Munir	78
14	Nisa	85
15	Opik	81
16	Qori	67
17	Rosa	65
18	Tutik	68
19	Umi	64
20	Vonny	63
21	Xerric	67
22	Wolly	69
23	Yonny	74
24	Zidni	75
25	Agung	68
26	Boby	67
27	Catur	62
28	Dadang	71
29	Emy	72
30	Fonny	45

Terdapat 4 cara untuk menentukan apakah data diatas tersebut berasal dari populasi yang berdistribusi normal atau tidak.Empat cara pengujian normalitas data sebagai berikut:

1.      Kertas Probabilitas Normal

            Apabila dari penelitian sudah terkumpul data lengkap, maka untuk pengujian normalitas dilalui langkah-langkah sebagai berikut.

a.    Membuat tabel distribusi frekuensi.

b.    Menentukan batas nyata tiap-tiap kelas interval.

c.    Mencari frekuensi kumulatif dan frekuensi kumulatif relative (dalam persen).

d.   Dengan skala sumbu mendatar dan sumbu menegak, menggambarkan grafik dengan data yang ada, pada kertas probabilitas normal.

e.    Dengan angka-angka yang ada pada tabel distribusi diletakkan titik-titik frekuensi kumulatif relative pada kertas probabilitas yang telah disediakan pada buku-buku statistic. Jika letak titik-titik berada pada garis lurus atau hampir lurus, maka dapat disimpulkan dua hal:

v Mengenai data itu sendiri

     Dikatakan bahwa data itu terdistribusi normal atau hampir normal (atau dapat didekati oleh distribusi normal).

v Mengenai populasi dari mana data sampel diambil.

Dikatakan bahwa populasi dari mana data sampel itu diambil ternyata berdistribusi normal atau hampir terdistribusi normal, atau dapat didekati oleh distribusi normal. Jika titik-titik yang diletakkan tidak menunjukkan terletak pada garis lurus maka dapat disimpulkan bahwa data atau sampel yang diambil tidak berasal dari populasi normal.

2.      Uji Chi Kuadrat

Menurut Prof.DR.Sugiono (2005, dalam buku “ Statistika untuk Penelitian “), salah satu uji normalitas data yaitu chi kuadrat (  ) merupakan pengujian hipotesis yang dilakukandengan cara membandingkan kurve normal yang terbentuk dari data yang telah terkumpul (B) dengan kurve normal baku atau standar (A). Jadi membandingkan antara (B/A). Bila B tidak berbeda secara signifikan dengan A, maka B merupakan data yang berdistribusi normal.

Ho:data berasal dari populasi yang berdistribusi normal

H1:data tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal

Grafik distribusi chi kuadrat (  ) umumnya merupakan kurve positif , yaitu miring ke kanan. Kemiringan ini makin berkuran jika derajat kebebasan (dk) makin besar.

Langkah-Langkah Menguji Data Normalitas dengan Chi Kuadrat:

1.      Menentukan Mean/ Rata-Rata

2.      Menentukan Simpangan Baku

3.      Membuat daftar distribusi frekuensi yang diharapkan

·         Menentukan batas kelas

·         Mencari nilai Z skor untuk batas kelas interval

·         Mencari luas 0 – Z dari tabel kurva normal

·         Mencari luas tiap kelas interval

·         Mencari frekuensi yang diharapkan (Ei)

4.      Merumuskan formula hipotesis

H_o:data berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

H₁:data tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

5.      Menentukan taraf nyata (a)
Untuk mendapatkan nilai chi-square tabel

6.      dk = k – 1
dk = Derajat kebebasan
k = banyak kelas interval

7.      Menentukan Nilai Uji Statistik

Keterangan:

Oi = frekuensi hasil pengamatan pada klasifikasi ke-i
Ei = Frekuensi yang diharapkan pada klasifikasi ke-i

8.      Menentukan Kriteria Pengujian Hipotesis

9.    Memberi Kesimpulan

Perhatikah data hasil belajar siswa kelas 2 SMP pada mata pelajaran matematika di atas. Kita akan melakukan uji normalitas data dengan chi kuadrat.

1.      Kita siapkan terlebih dahulu tabel distribusi frekuensi :

Interval prestasi	Frekuensi
45-54 55-64 65-74 75-84 85-94	1 4 16 7 2
Jumlah	30

2.      Mencari Mean dan Simpangan Baku

Interval Prestasi	F					f ^2
45-54	1	49,5	49,5	-21,6667	469,4444	469,4444
55-64	4	59,5	238	-11,6667	136,1111	544,4444
65-74	16	69,5	1112	-1,66667	2,777778	44,44444
75-84	7	79,5	556,5	8,333333	69,44444	486,1111
85-94	2	89,5	179	18,33333	336,1111	672,2222
Jumlah			2135			2216,667

3.      Membuat daftar distribusi frekuensi yang diharapkan

·          Menentukan Batas Kelas

Angka skor kiri pada kelas interval dikurangi 0,5

Angka skor kanan pada kelas interval ditambah 0,5

Sehingga diperoleh batas kelas sbb:

Batas Kelas

44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5

·           Mencari nilai Z skor untuk batas kelas interval

Sehingga diperoleh:

Z

-3,050343249

-1,9061785

-0,7620137

0,382151

1,5263158

2,6704805

·         Mencari luas 0 – Z dari tabel kurva normal

Luas 0-Z pada tabel

0,4989

0,4713

0,2764

0,148

0,4357

0,4962

·         Mencari luas tiap kelas interval

Yaitu angka baris pertama dikurangi baris kedua, angka baris kedua dikurangi baris ketiga, dst. Kecuali untuk angka pada baris paling tengah ditambahkan dengan angka pada baris berikutnya. Sehingga diperoleh hassil sbb:

Luas Tiap Interval Kelas

0,0276

0,1949

0,4244

0,2877

0,0605

·         Mencari frekuensi yang diharapkan (E)

Dengan cara mengalikan luas tiap interval dengan jumlah responden (n = 30). Diperoleh:

E

0,828

5,847

12,732

8,631

1,815

Tabel Frekuensi yang Diharapkan dan Pengamatan

Batas Interval	Z	Luas 0-Z pada tabel	Luas Tiap Interval Kelas	E	F	f-E
44,5	-3,050343249	0,4989	0,0271	0,828	1	0,172	0,029584	0,035729469
54,5	-1,9061785	0,4713	0,1949	5,847	4	-1,8	3,411409	0,583446
64,5	-0,7620137	0,2764	0,4244	12,73	16	3,27	10,67982	0,838817
74,5	0,382151	0,148	0,2877	8,631	7	-1,6	2,660161	0,30821
84,5	1,5263158	0,4357	0,0605	1,815	2	0,19	0,034225	0,018857
94,5	2,6704805	0,4962						1,785059469

4.      Menentukan taraf nyata dan chi-kuadrat tabel

Karena

Maka  berasal dari populasi data yang berdistribusi normal sehingga  dapat diterima.Data berdistribusi normal.

3.      Uji Lilliefors

Menurut Sudjana (1996: 466), uji normalitas data dilakukan dengan menggunakan uji Liliefors (Lo) dilakukan dengan langkah-langkah berikut.  Diawali dengan penentuan taraf sigifikansi, yaitu pada taraf signifikasi 5% (0,05) dengan hipotesis yang diajukan adalah sebagai berikut :

H₀: Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal

H₁ : Sampel tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal

Dengan kriteria pengujian :

Jika L_hitung< L_tabel terima H₀, dan

Jika L_hitung ≥ L_tabel tolak H₀

Adapun langkah-langkah pengujian normalitas adalah :

1.         Data pengamatan x₁, x₂ , x₃, ….., x_n dijadikan bilangan baku z₁, z₂ , z₃, ….., z_n dengan menggunakan rumus   (dengan  dan  masing-masing merupakan rata-rata dan simpangan baku)

2.         Untuk setiap bilangan baku ini dengan menggunakan daftar distribusi normal baku, kemudian dihitung peluang F(z_i) = P(z < z_i).

3.        Selanjutnya dihitung proporsi z₁, z₂ , z₃, ….., z_n yang lebih kecil atau sama dengan z_i. Jika proporsi ini dinyatakan oleh S(z_i) maka:

4.         Hitung selisih F(z_i) – S(z_i), kemudian tentukan harga mutlaknya.

5.         Ambil harga yang paling besar di antara harga-harga mutlak selisih tersebut, misal harga tersebut L₀.

Untuk menerima atau menolak hipotesis nol (H₀), dilakukan dengan cara membandigkan L₀ ini dengan nilai kritis L yang terdapat dalam tabel untuk taraf nyata yang dipilih .

Contoh pengujian normalitas data dengan uji liliefors:

Uji Normalitas Data Hasil Belajar Matematika Siswa

H₀: Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal

H₁ : Sampel tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal

No
1	45	-3,1987	0,001	0,03333	0,0323
2	62	-1,0604	0,1446	0,06667	0,07793
3	63	-0,9346	0,1762	0,1	0,0762
4	64	-0,8088	0,2119	0,13333	0,07857
5	64	-0,8088	0,2119	0,16667	0,04523
6	65	-0,683	0,2483	0,2	0,0483
7	65	-0,683	0,2483	0,23333	0,01497
8	67	-0,4314	0,3336	0,26667	0,06693
9	67	-0,4314	0,3336	0,3	0,0336
10	67	-0,4314	0,3336	0,33333	0,00027
11	67	-0,4314	0,3336	0,36667	0,0331
12	68	-0,3057	0,3821	0,4	0,0179
13	68	-0,3057	0,3821	0,43333	0,0512
14	68	-0,3057	0,3821	0,46667	0,0846
15	69	-0,1799	0,4325	0,5	0,0675
16	69	-0,1799	0,4325	0,53333	0,1008
17	71	0,0717	0,5279	0,56667	0,0388
18	72	0,19748	0,5745	0,6	0,0255
19	73	0,32327	0,6255	0,63333	0,0078
20	74	0,44906	0,676	0,66667	0,00933
21	74	0,44906	0,676	0,7	0,024
22	75	0,57484	0,7157	0,73333	0,0176
23	75	0,57484	0,7157	0,76667	0,051
24	76	0,70063	0,758	0,8	0,042
25	76	0,70063	0,758	0,83333	0,0753
26	78	0,9522	0,8289	0,86667	0,0378
27	78	0,9522	0,8289	0,9	0,0711
28	81	1,32956	0,9049	0,93333	0,0284
29	85	1,8327	0,9664	0,96667	0,0003
30	87	2,08428	0,9812	1	0,0188

Rata-rata:

Standar Deviasi:

Dari kolom terakhir dalam tabel di atas didapat L₀ = 0,1008dengan n = 30 dan taraf nyata α = 0,05. Dari tabel Nilai Kritis L untuk Uji Lilieforsdi dapat L = 0,161 yang lebih besar dari L₀ = 0,1008sehingga hipotesis H₀ diterima.

Simpulan:

Data berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

4.      Uji Kolmogorov Smirnov

Fungsi dan Dasar Pemikiran

Tes satu sampel Kolmogorov-Smirnov adalah suatu tes goodness-of-fit.Artinya, yang diperhatikan adalah tingkat kesesuaian antara distribusi teoritis tertentu.Tes ini menetapkan apakah skor-skor dalam sampel dapat secara masuk akal dianggap berasal dari suatu populasi dengan distributive tertentu itu.

Jadi, tes mencakup perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi dibawah distribusi teoritisnya, serta membandingan distribusi frekuensi itu dengan distribusi frekuensi kumulatif hasil observasi. Distribusi teoriti tersebut merupakan representasi dari apa yang diharapkan dibawah H₀. Tes Ini menerapkan suatu titik dimana kedua distribusi itu-yakni yang teoritis dan yang terobservasi-memiliki perbedaan terbesar.Dengan melihat distribusi samplingnya dapat kita ketahui apakah perbedaan yang besar itu mungkin terjadi hanya karena kebetulan saja.Artinya distribusi sampling itu menunjukan apakah perbedaan besar yang diamati itu mungkin terjadi apabila observasi-observasi itu benar-benar suatu sampel random dari distribusi teoritis itu.

Metode

Misalkan suatu F₀(X) = suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan, yakni distribusi kumulatif teoritis di bawah H₀. Artinya untuk harga N yang sembarang besarnya, Harga F₀(X) adalah proporsi kasus yang diharapkan mempunyai skor yang sama atau kurang daripada X.

Misalkan S_N(X) = distribusi frekuensi kumulatif yang diobservasi dari suatu sampel random dengan N observasi. Dimana X adalah sembarang skor yang mungkin, S_N(X) = k/N, dimana k = banyak observasi yang sama atau kurang dari X.

Di bawah Hopotesis-nol bahwa sampel itu telah ditarik dari distribusi teoritis tertentu, maka diharapkan bahwa untuk setiap harga X, S_N(X) harus jelas mendekati F₀(X). Artinya di bawah H0 kita akan mengharapkan  selisis antara S_N(X) dan F₀(X) adalah kecil, dan ada dalam batas-batas kesalahan random. Tes Kolmogorov-Smirnov memusatkan perhatian pada penyimpangan (deviasi) terbesar. Harga F₀(X) -S_N(X) terbesar dinamakan deviasi maksimum.

D = maksimum |F0(X) - SN(X)|

 

Distribusi sampling D di bawah H0 diketahui.Tabel E pada lampiran memberikan harga-harga kritis tertentu distribusi sampling itu.Perhatikanlah bahwa signifikasi suatu harga D tertentu adalah bergantung pada N. Harga-harga kritis untuk tes-tes satu sisi belum ditabelkan secara memadai.

Prosedur pengujian Kolmogorov-Smirnov ini dilakukan dengan blangkah-langkah sebagai berikut:

1.      Tetapkanlah fungsi kumulatif teoritisnya, yakni distribusi kumulatif yang diharapkan di bawah H₀.

2.      Aturlah skor-skor yang diobservasi dalam suatu distribusi kumulatif dengan memasangkan setiap interval S_N(X) dengan interval F₀(X) yang sebanding.

3.      Untuk tiap-tiap jenjang pada distribusi kumulatif, kurangilah F₀(X) dengan S_N(X).

4.      Dengan memakai rumus carilah D.

5.       Lihat table E untuk menemukan kemungkinan (dua sisi) yang dikaitkan dengan munculnya harga-harga sebesar harga D observasi di bawah H₀Jika p  sama atau kurang dari α, tolaklah H₀.

Kekuatan

Tes satu sampel Kolmogorov-Smirnov ini memperlihatkan den menggarap suatu observasi terpisah dari yang lain. Dengan demikian, lain dengan tes X² untuk satu sampel.Tes Kolmogorov-Smirnov tidak perlu kehilangan informasi karena digabungkannya kategori-kategori. Bila sampel kecil dan oleh karenanya kategori-kategori yang berhampiran harus digabungkan sebelum X²dapat dihitung secara selayaknya, tes X²jelas lebih kecil kekuatannya disbanding dengan tes Kolmogorov-Smirnov ini. Dan untuk sampel yang sangat kecil tes X²sama sekali tidak dapat dijalankan, sedangkan tes Kolmogorof-Smirnov dapat. Fakta ini menunjukan bahwa tes Kolmogorov-Smirnov mungkin lebih besar kekuatannya dalam semua kasus, jika dibandingkan dengan tes lainnya yakni tes X².

Contoh pengujian normalitas data dengan uji Kolmogorov-Smirnov :

Uji Normalitas Data Hasil Belajar Matematika Siswa

H₀: Sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal

H₁ : Sampel tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal

Berikut ini adalah langkah-langkah pengujian normalitas data dengan bantuan SPSS:

1.        Dengan Analyze-Descriptive Statitics-Explore

a.       Masuk program SPSS

b.      Klik Variable View pada SPSS data editor

c.       Pada kolom Name baris pertama ketik nomor dan pada kolom Name baris kedua ketik beratbadan.

d.      Pada kolom Type pilih Numeric untuk nomor dan beratbadan. Pada kolom Decimals pilih 0 untuk nomor dan beratbadan.

e.       Buka Data View pada SPSS data editor maka didapat kolom variable nomor dan variable beratbadan.

 

f.       Ketikkan data sesuai dengan variabelnya.

g.      Klik variable Analyze>>Descriptive Statistics>>Explore.

h.      Klik variable beratbadan dan masukkan ke kotak Dependent List.

i.        Klik Plots.

j.         Klik Normality Plots With Test kemudian klik Continue.

k.      Klik OK maka output keluar.

Jadi Output dari contoh data di atas yaitu:

Case Processing Summary
	Cases
	Valid		Missing		Total
	N	Percent	N	Percent	N	Percent
VAR00001	30	100,0%	0	,0%	30	100,0%

Descriptives
			Statistic	Std. Error
VAR00001	Mean		70,4333	1,45245
	95% Confidence Interval for Mean	Lower Bound	67,4627
		Upper Bound	73,4039
	5% Trimmed Mean		70,6481
	Median		69,0000
	Variance		63,289
	Std. Deviation		7,95541
	Minimum		45,00
	Maximum		87,00
	Range		42,00
	Interquartile Range		8,75
	Skewness		-,601	,427
	Kurtosis		2,751	,833

Tests of Normality
	Kolmogorov-Smirnova			Shapiro-Wilk
	Statistic	df	Sig.	Statistic	df	Sig.
VAR00001	,111	30	,200*	,933	30	,059
a. Lilliefors Significance Correction
*. This is a lower bound of the true significance.

VAR00001 Stem-and-Leaf Plot

 Frequency    Stem &  Leaf

     1,00 Extremes    (=<45)

     4,00        6 .                      2344

    11,00       6 .                     55777788899

     5,00        7 .                     12344

     6,00        7 .                     556688

     1,00        8 .                     1

     2,00        8 .                     57

 Stem width:     10,00

 Each leaf:       1 case(s)

Analisis:

Output Case Processing Summary

Semua data beratbadan (30 orang) valid (100%)

Output Descriptives

Memberikan gambaran (deskripsi) tentang suatu data, seperti rata-rata, standar deviasi, variansi dan sebagainya.

Output Test of Normality

Bagian ini akan menguji normal tidaknya sebuah distribusi data.

Pedoman pengambilan keputusan:

·      Nilai Sig. atau signifikasi atau nilai probabilitas < 0,05 maka distribusi adalah tidak normal.

·      Nilai Sig. atau signifikasi atau nilai probabilitas > 0,05 maka distribusi adalah normal.

Pada hasil uji Kolmogorov Smirnov distribusi nilai siswa adalah normal. Hal ini bisa dilihat pada tingkat pada tingkat signifikansi kedua alat uji, yaitu > 0,05 (0,200)

Output STEM AND LEAF

Analisis:

·      Pada baris pertama, ada 1 siswa yang mempunyai nilai ekstrim. Leaf atau cabangnya bernilai ≤ 45berarti nilai 1 siswa tersebut adalah ≤ 45.

·      Pada baris kedua, ada  4 siswa yang mempunyai nilai  6. Leaf atau cabangnya bernilai  .  2, 3, 4,  dan 4 berarti nilai 4 siswa tersebut adalah 62, 63, 64 dan 64.

·      Dan seterusnya

Output untuk menguji normalitas dengan Plot (Q-Q Plot)

Jika suatu distribusi data normal, maka data akan tersebar di sekeliling garis. Pada output data terlihat bahwa pola data tersebar di sekeliling garis, yang berarti bisa dikatakan berdistribusi normal.

Output untuk menguji normalitas dengan Plot (detrended Normal Q-Q Plot)

Output ini untuk mendeteksi pola-pola dari titik yang bukan bagian dari kurva normal.

Output BOXPLOT

Boxplot adalah kotak pada gambar berwarna abu-abu (atau mungkin warna yang lain) dengan garis tebal horizontal di kotak tersebut. Kotak abu-abu tersebut memuat 50% data, atau mempunyai batas persentil ke-25 dan ke-75 (lihat pembahasan interquartile mean). Sedangkan garis tebal hitam adalah median data.

Berikut ini gambar Boxplot teoritis:

hspread

Whisker (nilai 1,5 dari hspread)

Nilai di atas garis ini adalah outlier atau nilai ekstrim

Nilai di bawah garis ini adalah outlier atau nilai ekstrim

Persentile (25)disebut HINGES

Persentile (50) disebut MEDIAN

Persentile (75) disebut HINGES

 

2.      Dengan Analyze-NonParametric Test-Sampel K-S

Langkah keseluruhan hampir sama dengan no.1 namun hanya berbeda pada globalnya yaitu Analyze>>NonParametric Test>>Sampel K-S.  jadi output dari contoh data di atas adalah :

NPar Tests

Notes
Output Created		16-Mar-2011 16:17:25
Comments
Input	Active Dataset	DataSet0
	Filter	<none>
	Weight	<none>
	Split File	<none>
	N of Rows in Working Data File	30
Missing Value Handling	Definition of Missing	User-defined missing values are treated as missing.
	Cases Used	Statistics for each test are based on all cases with valid data for the variable(s) used in that test.
Syntax		NPAR TESTS   /K-S(NORMAL)=VAR00001   /MISSING ANALYSIS.
Resources	Processor Time	00:00:00,016
	Elapsed Time	00:00:00,016
	Number of Cases Alloweda	196608
a. Based on availability of workspace memory.

[DataSet0]

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
		VAR00001
N		30
Normal Parametersa,b	Mean	70,4333
	Std. Deviation	7,95541
Most Extreme Differences	Absolute	,111
	Positive	,105
	Negative	-,111
Kolmogorov-Smirnov Z		,609
Asymp. Sig. (2-tailed)		,852
a. Test distribution is Normal.
b. Calculated from data.

Simpulan:

Data berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

UJI HOMOGENITAS

Uji homogenitas merupakan uji perbedan antara dua atau lebih populasi. Semua karakteristik populasi dapat bervariasi antara satu populasi dengan yang lain. Dua di antaranya adalah mean dan varian (selain itu masih ada bentuk distribusi, median, modus, range, dll).

Penelitian yang selama ini baru menggunakan mean sebagai tolak ukur perbedaan antara dua populasi. Para peneliti belum ada yang melakukan pengujian atau membuat hipotesis terkait dengan kondisi varian diantara dua kelompok. Padahal ini memungkinkan dan bisa menjadi kajian yang menarik. Misalnya saja sangat memungkinkan suatu treatmen tidak hanya mengakibatkan perbedaan mean tapi juga perbedaan varian. Jadi misalnya, metode pengajaran tertentu itu cocok untuk anak-anak dengan kesiapan belajar yang tinggi tapi akan menghambat mereka yang kesiapan belajarnya rendah. Ketika diberikan pada kelas yang mencakup kedua golongan ini, maka siswa yang memiliki kesiapan belajar tinggi akan terbantu sehingga skornya akan tinggi, sementara yang kesiapan belajarnya rendah akan terhambat, sehingga skornya rendah. Nah karena yang satu mengalami peningkatan skor sementara yang lain penurunan, ini berarti variasi dalam kelompok itu makin lebar. Sehingga variansinya akan membesar.

Uji homogenitas bertujuan untuk mengetahui apakah varians skor yang diukur pada kedua sampel memiliki varians yang sama atau tidak. Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi dengan varians yang homogen, sedangkan populasi-populasi dengan varians yang tidak sama besar dinamakan populasi dengan varians yang heterogen.

 Faktor-faktor yang menyebabkan sampel atau populasi tidak homogen adalah proses sampling yang salah, penyebaran yang kurang baik, bahan yang sulit untuk homogen, atau alat untuk uji homogenitas rusak. Apabila sampel uji tidak homogen maka sampel tidak bisa digunakan dan perlu dievaluasi kembali mulai dari proses sampling sampai penyebaran bahkan bila memungkinkan harus diulangi sehingga mendapatkan sampel uji yang homogen.

Menguji Homogenitas Varians Populasi

Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B berikut ini:

No	Nilai
	Kelas A	Kelas B
1	5	5
2	6	5
3	9	9
4	8	6
5	10	10
6	9	6
7	8	9
8	9	9
9	9	9
10	10	10
11	10	10
12	8	8
13	10	10
14	6	2
15	7	6
16	9	10
17	9	9
18	8	10
19	9	9
20	10	10
21	9	10
22	10	10
23	9	10
24	7	6
25	8	10
26	9	10
27	10	9
28	5	3
29	8	8
30	9	9
31	10	10
32	7	6
33	6	4
34	8	3
35	8	8

Untuk melakukan uji homogenitas data tersebut.Ada dua macam uji homogenitas untuk menguji kehomogenan dua atau lebih variansi yaitu :

1.        Uji Harley Pearson

Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama (n yang sama ) untuk tiap kelompok, misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan varians  dan , akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasangan hipotesis nol  dan tandingannya  :

Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independen diambil dari populasi tersebut. Jika sampel dari populasi kesatu berukuran dengan varians  dan sampel dari populasi kedua berukuran dengan varians  maka untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistik

Kriteria pengujian adalah : diterima hipotesis   jika

untuk taraf nyata α, dimana  didapat dari daftar distribusi F dengan peluang β, dk pembilang = m dan dk penyebut =  n.

dalam hal lainnya  ditolak.

Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis  adalah

Prosedur pengujian hipotesis :

1)      Menentukan formulasi hipotesis

2)      Menentukan taraf nyata (α) dan 

 ditentukan dengan α, derajat bebas pembilang , dan derajat penyebut  dengan rumus

3)      Menentukan kriteria pengujian:
H_o diterima jika 

H_o ditolak  jika   atau 

4)      Menentukan uji statistik

5)      Menarik kesimpulan

Contoh soal :

Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas.

1.      Hipotesis

   (homogen)

  (tidak homogen)

2.      Menentukan taraf nyata (α) dan 

 ditentukan dengan α = 5%, derajat bebas pembilang , dan derajat penyebut  dengan rumus

3.      Kriteria pengujian:
H_o diterima jika 

H_o ditolak  jika   atau 

4.      Uji statistik

5.      Kesimpulan

Karena F_hitung =  maka H₀ ditolak. Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogendalam taraf nyata 0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga kedua sampel tersebut tidak homogen.

 aentukan dengan :

nguji ukuran dengan cuplikan yang sama maupun tidak sama (n yang sama maupun n yang berbeda) untuk tiap ke

2.      Uji Bartlett

Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama maupun tidak sama (n yang sama maupun n yang berbeda) untuk tiap kelompok.

Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata, dimisalkan populasinya mempunyai varians yang homogen, yaitu . Demikian untuk menguji kesamaan dua rata-rata, telah dimisalkan , akan diuraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k buah (k≥2) buah populasi berdistribusi independen  dan normal masing-masing dengan varians . Akan diuji hipotesis :

Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.Metode yang akan digunakan untuk melakukan pengujian ini adalah dengan uji Bartlett. Kita misalkan masing-masing sampel berukuran  dengan data  dan hasil pengamatan telah disusun dalam daftar :

	DARI POPULASI KE
	1           2     …     k
Data hasil pengamatan	…          …         …

selanjutnya, dari sampel-sampel itu akan kita hitung variansnya masing-masing adalah .

Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar seperti :

Sampel ke	dk			Log	(dk) log
1 2 . . . k	. .		. . .	Log Log . . Log	. . .
jumlah			…	…

            Dari daftar ini kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni :

Harga satuan B dengan rumus :

Untuk uji Bartlet digunakan statistik chi-kuadrat.

Dengan ln 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10.

Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis  jika , dimana  didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = ( k-1).

Jika harga  yang dihitung dengan rumus di atas ada di atas harga  dari daftar dan cukup dekat kepada harga tersebut, biasanya dilakukan koreksi terhadap rumus dengan menggunakan faktor koreksi K sebagai berikut :

Dengan faktor koreksi ini, statistik  yang dipakai sekarang ialah :

Dengan  di ruas kanan dihitung dengan rumus . dalam hal ini, hipotesis  ditolak jika

Prosedur pengujian hipotesis :

1)      Menentukan formulasi hipotesis

2)      Menentukan taraf nyata (α) dan 

 dimana  didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = ( k-1).

3)      Menentukan kriteria pengujian:
H_o diterima jika

H_o ditolak  jika 

4)      Menentukan uji statistik

5)      Menarik kesimpulan

Contoh soal :

Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas.

Dengan rumus varians 

Dari data diperoleh :

2,114286

5,878992

1.       (homogen)

  (tidak homogen)

2.    Taraf nyata (α=5%) dan

3.    Kriteria pengujian

 diterima, jika 

 ditolak, jika 

4.    Menentukan uji statistik

Uji statistik :

a.    Varians gabungan dari semua sampel

=3,996639

b.    Harga satuan B

Log

=0,601695

c.       Harga X²

d.      Kesimpulan

Karena  maka H₀ ditolak. Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogen dalam taraf nyata 0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga kedua sampel tersebut tidak homogen.